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 前言 

12月份P4考试刚结束，就收到考生的反馈，这次第一道必答题出的是债券相关的内容。这部分内容是属于P4 Part B的内容，但相比Part B其他常考的知识点，比如NPV，APV而言，这部分的知识点可能是很多学生比较薄弱的内容。正如有的考生反映：“开考二十分钟，我看到我们考场绝大部分人长叹一口气，翻过第一题”，“做第一题的时候就觉得选错考季了……”。

这部分内容其实在2017年6月的考试中，就以第二题选答题的形式考核过了。怎么会这么快在12月的考试中又出现这一部分内容，而且是以必答题的形式进行考核？Yvette老师表示这一点都不意外。正如在复习串讲中所说的，虽然这部分内容在6月份考过，考官之前就表示过考生总体表现得不理想，所以再考查这部分内容的可能性非常大。一般考官发现考生哪个知识点薄弱，就会找机会虐一虐考生（一阵凉风吹过……）。这道考题也在复习串讲中详细讲解过，据有的P4考生爆料，相似度很高。对这方面知识还掌握不牢固的P4考生们，建议回播：

https://m.qlchat.com/topic/2000000382984205.htm?preview=Y&intoPreview=Y&topicId=2000000382984205

另外，希望通过这篇文章，让大家从头到尾，完整的梳理一遍这部分内容的知识点。

 介绍 

债券及其变体，如贷款票据、债券和贷款股票，是政府和企业作为融资的手段而发行的借据。通常也被称为固定收益或固定利率证券，以区别于股票，因为债券通常(但并不总是)定期为投资者(即债券持有者)提供已知的回报。这些回报作为债券的利息是固定支付的，不像股票的股息是可变的。大多数公司债券在规定期限后可赎回。因此，常规债券（也叫香草债券）定期向投资者支付利息，并支付到期时赎回债券的本金。

这篇文章主要讨论的是关于债券的估值方法，以及债券价值或价格，到期收益率和即期收益率曲线三者之间的关系。这是属于P4考纲中B3a和B3e部分的内容。

Bond value or price债券价值或价格

Example 1

有一个债券，面值为$100，每年的息票利率为5%，可以在4年内赎回。这个债券的风险等级所对应的预期收益率是4%。问一个投资者今天要花多少钱购买这个债券？

与任何资产评估一样，投资者最愿意支付的应该是未来的现金流，按预期收益率折现之后所得到的现值。因此，债券的价值可以确定如下:

所以，该债券的价值/价格（现值的总额）= $103.62

如果预期收益率为6%，那么使用相同的计算方法，可以得出债券的价格将是$96.53（$5/1.061+$5/1.062+$5/1.063+$105/1.064）。当预期收益率等于息票利率5%的时候，债券的价格将等于$100的票面价值。

因此，债券的收益率与其价格或价值之间存在反比关系。收益率越高，债券的价格越低，反之亦然。然而，应该注意的是，这种关系不是线性的，而是凸向原点的（如下图）。

前面提到的常规债券简单的年息支付的例子，是比较简单的一种债券。除了常规债券之外，作为P4考试要求的一部分，考生还需要了解并能够处理更复杂的债券，比如：债券的息票支付比一年一次更频繁；可转换债券和带有权证的债券（包含期权特征）；更复杂的支付形式，比如分期偿还或年金偿还方式。

Yield to maturity (YTM)/ Gross Redemption Yield (GRY) 到期收益率

如果提供债券的当前价格，连同息票和到期日的信息，那么就可以计算出债券的到期收益率。

Example 2

一个债券息票利率是7%，在5年内可按$100赎回，目前的交易价格为$106.62。求这个债券的收益率。

假设收益率为r，由于目前债券的价格是$106.6，也就是：

将等式左边移到等式右边，得出：

可以把它看成求某个特定的r，使得NPV=0，也就是可以通过内部收益率的方法来计算得出r，因为当前价格高于100美元，r必须低于7%。

当r=5%时，

($7 x 4.329 + $100 x 0.784) - $106.62 = ($30.30+$78.40) - $106.62 = $2.08

(4.329是5%，5年对应的年金系数；0.784是5%第5年对应的折现系数)

当r=6%时，

($7 x 4.212 + $100 x 0.747) - $106.62 = ($29.48 + 74.70) - $106.62= -$2.44

(4.212是6%，5年对应的年金系数；0.747是6%第5年对应的折现系数)

因此，5.46%是这个债券的到期收益率YTM。YTM是使得债券未来所有现金流（息票和赎回金额）的现值之和等于当前债券价格的收益率。这是债券投资者期望从债券中得到的平均年利率。债券的YTM通常按照债券的收盘价格得到，并在一些财经媒体中公布。比如，财经媒体经常公布的收益率就是投标收益率。投标收益率是当前投标价格(债券可以购买的价格)的YTM。

Term structure of interest rates and the yield curve利率期限结构和收益率曲线

到期收益率是根据当前的市场价格，债券的期限和息票金额的期限和频率计算出来的。然而，如果公司债券第一次发行，其价格和息票的支付需要根据所预期的收益率来确定。预期的收益率是基于利率期限结构得到的，这个是在确定债券价格之前需要考虑的问题。

即使同一风险等级的债券，不同的到期日的收益率通常是不相同的。事实上，很明显，市场对不同到期日的证券，有不同的收益率期望。这被称为利率期限结构，由即期收益率曲线或收益率曲线来表示。

例如，公司可能会发现，如果想发行一年期债券，它可能需要支付3%的利息。如果它想发行两年期债券，市场可能要求年利率为3.5%，而对于三年债券，年收益率可能是4.2%。因此，对于一年期，公司需要支付3%的利息；如果是两年期，则需要支付每年3.5%的利息；而如果是三年期，则需要支付每年4.2%的利息。在这种情况下，利率期限结构是由向上倾斜的收益率曲线表示。

正常的预期是收益率曲线向上倾斜，因为期限较长的债券需要更高的利率作为风险的补偿。注意，即便所考虑的债券可能属于同一风险类别，但期限越长，越会增加不确定性。

然而，收益率曲线有可能会出现很多不同的形状，这是正常的事情。因为它取决于市场对利率水平在未来可能发生变化的看法。主要有三个理论来解释利率期限结构或收益率曲线：期望假说、流动性偏好假说和市场分割假说。这些理论已经超出了本文的范围（也就是P4的考试范围），但有很多关于投资和财务管理的书中都详细介绍了这些理论，有兴趣的同学可以拓展阅读。

Valuing bonds based on the yield curve以收益率曲线为基础的债券估值

即期年收益率曲线通常由财经新闻或中央银行发行(例如，英格兰银行经常在官网上公布英国政府债券收益率曲线)。即期收益率曲线可以用来估算债券的价格或价值。

假设某一风险级别的债券即期年收益率如下：

一年 3.5%

两年 4.0%

三年 4.7%

四年 5.5%

一个四年到期的债券对应的现金流如下：

年数 1 2 3 4

支付 $5 $5 $5 $105

我们可以把它看成是四个单独的债券，现金流如下：

可以看成每年的支付都是在某一特定年份的单一支付，就像零息债券一样。现值可以通过对每个现金流按收益率曲线的相关利率折现来确定，如下:

这个现金流的加总也就是这个债券可以发行的价格，$98.57。

通过跟Example 2同样的方法可以算出这个债券的到期收益率为5.41%。

以上计算说明了一些要点：

首先，5.41%的收益率低于5.5%，是因为债券的一些回报现金流出现在较早的年份，收益率曲线中较早年份的利率较低，但由于最大比例的现金流是在第4年，所以收益率还是比较接近于5.5%。其次，到期收益率是利率期限结构的加权平均数。第三，到期收益率是在市场上计算或观察到债券价格之后计算的，但理论上应该是利率期限结构决定了债券价格或价值。

从算数上来说：

其中，r1，r2等指的是从收益率曲线中得到的即期利率，n代表的是息票支付的时间期数。

在这篇文章中，我们假设息票是每年支付的，但息票在实际中的支付往往更加频繁。这种情况下，需要减少息票支付，增加时间周期的频率。

Estimating the yield curve估计收益率曲线

估算即期收益率曲线可以通过不同的方法，其中基于重复息票债券bootstrapping（自举法）的过程是最容易理解的。下面的例子是这种方法的计算过程。

Example 4

假设政府有三种债券发行，面值为$100，分别为一年、两年和三年到期。因为这些债券都是政府债券，我们假设它们是同一个风险等级。我们也假设每年都要支付息票。债券A在一年的时间内可赎回，息票利率为7%，交易价格为$103。债券B在两年内可赎回，息票利率为6%，交易价格为$102。债券C可以在三年内赎回，息票利率为5%，交易价格为$98。

为了确定收益率曲线，我们对每个债券的现金流进行折现，以确定三年的即期年收益率，如下：

即期年收益率曲线确定汇总如下：

其实还有其他估算即期年收益率曲线的方法，比如使用多重回归方法和观察零息债券的即期利率，但这些方法超出了P4考纲的范围。

如上面所述，财经新闻和中央银行通常会根据政府发行的债券发布估算的即期收益率曲线。对于单个公司债券的收益率曲线，则可以通过增加相关利差来估算。例如，下表提供了零售行业的利差(以基点的形式)。

Example 5

Mason Retail Co. 拥有AA的信用评级，根据政府债券收益率曲线和上面的价差表，它单个公司的收益率曲线可以估算为：

这些收益率是是购买了Mason Retail Co. 发行的债券的投资者的收益率，因此Mason Retail Co. 将用这些利率作为折现率来估算发行新债券时的价格或价值。而Mason Retail Co. 现有债券的市场价格将反映其单个公司的收益率曲线。

 总结 

本文讨论了债券价格、收益率曲线和到期收益率之间的关系。举例演算了债券是如何被估值的，以及收益率曲线是如何使用相同风险等级，但到期日不同的债券来确定的。最后举例演算了单个公司收益率曲线的估算方法。希望可以帮助大家掌握这部分内容。